0 = 20 − 5t ⟹ t = 4 s Δx = ½(v0+v)t Δx = ½ · 20 · 4 Δx = 40 m
דרך ג׳ · שני צעדים
קודם הזמן, ואז מקום-זמן:
t = 4 s (כמו קודם) Δx = v0t + ½at² Δx = 80 − 40 Δx = 40 m
שלוש דרכים, אותה תשובה. אם תוצאות שונות — יש טעות בצעד כלשהו. ככל שיש פחות צעדים, יש פחות הזדמנויות לטעות — ולכן בוחרים לפי הגודל החסר.
חלק א׳ · 5/7
שיטת עבודה
חמישה צעדים לכל בעיה
1שרטוט וציר: בוחרים כיוון חיובי וראשית.
2טבלת נתונים עם סימנים (בלימה בציר חיובי ← a<0).
3מזהים נעלם וחסר ← בוחרים משוואה.
4פותרים קודם באותיות, אחר כך מציבים.
5בודקים: יחידות, סימן, ושאלה: האם יש עוד פתרון?
דוגמה: טבלת הנתונים של שקף 6
Δx
v0
v
a
t
?
20
0
−5
חסר
„עצירה" = v = 0. נתון שלא נאמר במפורש, אבל הוא נמצא בטקסט!
מילים שמסתתרות בנתונים
„יוצא ממנוחה" ← v0=0 „נעצר" ← v=0 „בולם" ← a נגד כיוון התנועה
חלק א׳ · 6/7
למה לפעמים יש שני פתרונות?
משוואה ריבועית = שני זמנים אפשריים
גוף עם v0 = 10 m/s ו-a = −2 m/s²: x = 10t − t². באילו רגעים הוא נמצא ב-x = X? הזיזו את הקו הכתום:
X = m
t² − 10t + X = 0
שני פתרונות = הגוף עובר במקום פעמיים (בדרך הלוך ובדרך חזור), במהירויות הפוכות בסימן. פתרון שלילי של t, או שורש מרוכב — נפסלים.
חלק א׳ · 7/7 · ✎ תרגול
תרגול חישוב · רשמו טבלת נתונים ובחרו משוואה
עכשיו פותרים
1אופניים יוצאים ממנוחה בתאוצה 0.5 m/s² ועוברים 100 מטר. מה מהירותם בסוף?
2מכונית נוסעת 25 m/s ובולמת בתאוצה קבועה של −5 m/s² עד לעצירה. מה מרחק הבלימה?
3גוף: v0 = 12 m/s, a = −4 m/s², מהראשית. באילו שני רגעים הוא נמצא 16 מטר מהראשית? (שימו לב לשקף הקודם!)
חלק ב׳ · 1/8
בעיות מפגש
מהי בעיית מפגש?
שני גופים נעים, ושואלים: מתי ואיפה הם נמצאים באותו מקום באותו רגע?
1ציר אחד
ראשית אחת וכיוון חיובי אחד לשני הגופים. גוף שנע לכיוון ההפוך מקבל מהירות שלילית.
2שעון אחד
t = 0 זהה לשניהם. גוף שיוצא באיחור t0 נע לפי (t − t0).
3תנאי המפגש
xA(t) = xB(t). כותבים מקום-זמן לכל גוף, משווים, ופותרים עבור t.
חלק ב׳ · 2/8 · מעבדה
מעבדת מפגשים · בחרו תרחיש או שחקו עם הערכים
מתי ואיפה A ו-B נפגשים?
A · x₀A · v₀A · aB · x₀B · v₀B · aB יוצא ב-t=
t:
חלק ב׳ · 3/8
דוגמה פתורה · מרדף
רכב עוקף ניידת שעומדת — והניידת מתחילה לרדוף
רכב A נוסע במהירות קבועה של 20 m/s ועוקף ניידת B שעומדת במקום. ברגע העקיפה הניידת מתחילה לנוע באותו כיוון בתאוצה של 4 m/s². מתי ואיפה הניידת תופסת את הרכב?
1ציר וזמן:x = 0 במקום העקיפה, כיוון חיובי בכיוון הנסיעה, t = 0 ברגע העקיפה.
2מקום-זמן:xA = 20t · xB = ½·4·t² = 2t²
3תנאי מפגש:xA = xB ⟹ 20t = 2t²
4פתרון:2t(t − 10) = 0 ⟹ t = 0 או t = 10 s
?למה יש שני פתרונות? במשוואה יש t² (משוואה ריבועית), ולכן יש עד שני רגעי מפגש. t = 0: רגע העקיפה — שניהם באותו מקום (x = 0). t = 10 s: הניידת תופסת את הרכב. השאלה מבקשת את המפגש השני, ולכן עונים 10 s.
שני הגרפים נחתכים פעמיים: ב-t = 0 (העקיפה) וב-t = 10 s (התפיסה).
חלק ב׳ · 4/8
דוגמה פתורה · מרדף (המשך)
איך מחשבים את המקום, ואיך בודקים?
מצאנו t = 10 s. עכשיו מוצאים איפה התפיסה התרחשה.
5חישוב המקום
מציבים את t = 10באחת משתי משוואות המקום (כל אחת מתאימה):
xA = 20t = 20 · 10 = 200 m
6בדיקה
מציבים את אותו t במשוואה השנייה. אם הפתרון נכון, מקבלים את אותה תוצאה:
xB = 2t² = 2 · 10² = 200 m ✓
שתי המשוואות נתנו 200 m ← xA = xB באמת מתקיים ← הפתרון נכון. אם היו יוצאים מספרים שונים, הייתה טעות בפתרון המשוואה.
★ תובנה: מהירות הניידת ברגע התפיסה: v = 4 · 10 = 40 m/s — פי 2 ממהירות הרכב. למה בדיוק פי 2? בשקף הבא נראה זאת בגרף.
?נסו: אותה בעיה, אבל התאוצה של הניידת 2 m/s². מתי היא תופסת את הרכב?
?ובאיזה מקום (מהנקודה שבה עקף)?
חלק ב׳ · 5/8
מפגש בגרף v-t · אותו מרדף
מפגש = שטחים שווים מתחת לגרף v-t
שני הגופים יצאו מאותה נקודה, ולכן הם נפגשים כשההעתקים שווים — כלומר כשהשטחים מתחת לשני הגרפים שווים.
רגע t:
t = s
שטח הרכב: ΔxA = m
שטח הניידת: ΔxB = m
מרחק ביניהם:
ברגע המפגש: שטח המלבן vA·t = שטח המשולש ½·vB·t. מכאן vB = 2vA. ב-t = 5 המהירויות שוות — שם המרחק ביניהן מקסימלי.
חלק ב׳ · 6/8
דוגמה פתורה · זה מול זה עם תאוצה
שתי שיטות לאותה בעיה
שני רכבים נמצאים במרחק 300 מטר זה מזה. A יוצא ממנוחה בתאוצה 2 m/s² לכיוון B. B נוסע לכיוון A במהירות קבועה של 20 m/s. מתי ואיפה נפגשים?
שיטה 1 · השוואת מקומות
xA = ½·2·t² = t² xB = 300 + (−20)t t² = 300 − 20t t² + 20t − 300 = 0 (t + 30)(t − 10) = 0 t = 10 s (t = −30 נפסל) x = 10² = 100 m
שיטה 2 · סכום מרחקים
dA = t²dB = 20t מתקרבים זה לזה, ולכן: dA + dB = 300 t² + 20t = 300 …אותה משוואה ✓
שיטה 2 קצרה כשמתקרבים, אבל בשיטה 1 הסימנים „נכנסים לבד" ולכן היא בטוחה יותר.
?שאלת המשך: מה מהירותו של A ברגע המפגש?
חלק ב׳ · 7/8 · ✎
יציאה מאוחרת · (t − t₀)
B יוצא 4 שניות אחרי A
מכונית A יוצאת ממקום מסוים ב-15 m/s (קבועה). 4 שניות אחר כך יוצאת מאותו מקום מכונית B ב-25 m/s (קבועה), באותו כיוון. מתי (מאז יציאת A) ואיפה B תופסת את A?
1xA = 15t · xB = 25(t − 4) (תקף לאחר t ≥ 4)
215t = 25(t − 4) = 25t − 100
310t = 100 ⟹ t = 10 s (מאז יציאת A) · x = 150 m
4בדיקה: B נסע 10 − 4 = 6 s ו-25·6 = 150 m ✓
★דרך חכמה: ל-A יש יתרון של 15·4 = 60 m. B מקצר 25 − 15 = 10 m בכל שנייה ← 6 שניות אחרי יציאתו.
?נניח ש-B נוסעת ב-20 m/s במקום 25. מתי (מאז יציאת A) היא תופסת את A?
?ובאיזה מרחק מנקודת היציאה (במקרה של 20 m/s) הן נפגשות?
חלק ב׳ · 8/8 · ✎ תרגול
תרגול מפגשים · שרטטו ציר וכתבו x(t) לכל גוף
בדקו את עצמכם
1שני רצים יוצאים זה לקראת זה ממרחק 100 מטר. A רץ ב-6 m/s ו-B ב-4 m/s (קבועות).
2משאית נוסעת ב-15 m/s ועוברת על פני אופנוע שעומד. ברגע זה האופנוע מתחיל להאיץ ב-3 m/s².
3חשיבה: A יוצא ממנוחה בתאוצה 2 m/s² מ-x=0. B נוסע ב-12 m/s ומתחיל 36 מטר מאחורי A (x = −36) באותו רגע. מה נכון?
חלק ג׳ · 1/8
תאוצה משתנה
כשהתאוצה „קופצת" בין ערכים: מדרגות
אזהרה: המשוואות v = v0 + at וחברותיה תקפות רק כשהתאוצה קבועה. אי אפשר להפעיל אותן על כל התנועה בבת אחת.
1מפרקים לקטעים
בכל קטע (מדרגה) התאוצה קבועה ← כל קטע הוא בעיה רגילה.
2שרשרת
מהירות הסוף של קטע = מהירות ההתחלה של הבא. כך גם המקום.
3שטחים
שטח מתחת ל-a-t = Δv. שטח מתחת ל-v-t = Δx.
4סימנים
a חיובית ושלילית באותה תנועה? מותר: כל קטע לפי הסימן שלו.